براساس یک افسانه سیسیلی که از دوران باستان نقل شده است، آرایشگر شهر دورافتاده ای که دسترسی به آن تنها از طریق گذر از یک جاده کوهستانی خطرناک امکانپذیر است، مردم شهر را اصلاح می کند اما تنها افرادی که خودشان خود را اصلاح نمی کنند.

آیا چنین آرایشگری وجود دارد؟

پاراداوکس یا متناقض نما عبارتی است که صحیح به نظر می رسد اما خودش را نقض می کند یا منجر به وضعیتی می شود که گویا با منطق در تضاد است.

در سال 1901 برتراند راسل ریاضیدان انگلیسی از پارادوکس آرایشگر بهره برد تا کاستی های نظریه مقدماتی مجموعه ها را نشان دهد.

این پارادوکس از این قرار است:

تمامی مردان شهر یا توسط خودشان یا توسط آرایشگر (که خود مردی از همین دهکده است) اصلاح می شوند. آرایشگر ادعا می کند که تنها مردانی از شهر را اصلاح می کند که قادر به اصلاح خودشان نیستند، چه کسی آرایشگر را اصلاح می کند؟

به زبان نظریه مجموعه ها، پارادوکس از ما می خواهد مجموعه ای را در نظر بگیریم که شامل زیرمجموعه هایی است که خودشان را به عنوان یک عضو در برندارند. آیا چنین مجموعه ای عضوی از خودش است؟

یک پاسخ فوری به این پارادوکس با محدود ساختن نظریه مجموعه ها به یک سری قانون و یا اصل مطرح شد، یک سلسله مراتب روی مجموعه ها ساخته شد و هر مجموعه تنها اجازه داشت عضوی از مجموعه بالادستی اش را در این سلسله باشد. هر چند این زیباترین راه حل نبود، نظریه های اصل مجموعه، بسیار مورد پذیرش قرار گرفتند.

اگر آرایشگر خودش را اصلاح کند، این ادعایش که تنها افرادی را اصلاح می کند که نمی توانند خود را اصلاح کنندف نقض می شود. اگر خود را اصلاح نکند، ادعا کرده که خود را اصلاح می کند! هر جور آن را تعبیر کنید تناقضی وجود دارد.